Question

要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（　　）

• A．30°
• B．45°
• C．60°
• D．正弦值为

  1

  3

  的锐角

Answer 1

分析：设直角三角形为ABC，角C为直角，不妨设斜边c=

a2+b2

=1，则a=sinA，b=cosA．三角形的周长为 a+b+1=sinA+cosA+1=

2

sin（A+

π

4

）+1，由此可得出结论．

解答：解：设直角三角形为ABC，角C为直角，则由题意可得 a²+b²为定值，本题即求当a+b+c最大时，它的一个锐角的值．
不妨设斜边c=

a2+b2

=1，则a=sinA，b=cosA．
此时，三角形的周长为 a+b+1=sinA+cosA+1=

2

sin（A+

π

4

）+1，显然，当A=

π

4

时，周长最大为

2

+1，
故选B．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，直角三角形中的边角关系，属于中档题．