Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，∠B₁A₁A=∠C₁A₁A=60°，AA₁=AC=4，AB=1．
（Ⅰ）求证：A₁B₁⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AA₁中点O，连结OC₁，AC₁，推导出OC₁⊥AA₁，OC₁⊥A₁B₁，A₁B₁⊥OB₁，从而A₁B₁⊥平面OB₁C₁，由此能证明A₁B₁⊥B₁C₁．
（Ⅱ）在平行四边形ABB₁A₁中，过B₁作B₁E⊥₁于点E，过O作OF⊥BB₁于点F，则OFB₁E为矩形推导出BB₁⊥OC₁，C₁F⊥BB₁，由此能求出三棱锥ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

解答 证明：（Ⅰ）取AA₁中点O，连结OC₁，AC₁，
∵AA₁=AC=A₁C₁=4，∠C₁A₁A=60°，∴△AC₁A₁为正三角形，
∴OC₁⊥AA₁，OC₁=2$\sqrt{3}$，
又侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，面ACC₁A₁∩面ABB₁A₁=AA₁，OC₁?面ACC₁A₁，
∴OC₁⊥平面ABB₁A₁，
又A₁B₁?平面ABB₁A₁，∴OC₁⊥A₁B₁，
在△OA₁B₁中，∵∠OA₁B₁=60°，A₁B₁=AB=1，OA₁=2，
∴$O{{B}_{1}}^{2}$=1+4-2×1×2×cos60°=3，解得OB₁=$\sqrt{3}$，
∴OA₁²=OB₁²+${A}_{1}{{B}_{1}}^{2}$，∴A₁B₁⊥OB₁，
又OB₁∩OC₁=O，OB₁?平面OB₁C₁，OC₁?平面OB₁C₁，
∴A₁B₁⊥平面OB₁C₁，
∵B₁C₁?平面OB₁C₁，∴A₁B₁⊥B₁C₁．
解：（Ⅱ）依题意，${S}_{AB{B}_{1}{A}_{1}}=2×\frac{1}{2}×{A}_{1}{B}_{1}×A{A}_{1}×sin60°$=8$\sqrt{3}$，
在平行四边形ABB₁A₁中，过B₁作B₁E⊥₁于点E，
过O作OF⊥BB₁于点F，则OFB₁E为矩形，∴OF=B₁E，
由（1）知OC₁⊥平面ABB₁A₁，BB₁?平面ABB₁A₁，
∴BB₁⊥OC₁，
∵BB₁⊥OF，OC₁∩OF=O，OC₁?平面OC₁F，OF?平面OC₁F，
∴BB₁⊥平面OC₁F，∵C₁F?平面OC₁F，
∴C₁F⊥BB₁，
∵${B}_{1}E={A}_{1}{B}_{1}•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OC₁F中，OC₁=2$\sqrt{3}$，OF=B₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C₁F=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{51}}{2}$，
∴${S}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=BB₁×${C}_{1}F=2\sqrt{51}$，
∴三棱锥ABC-A₁B₁C₁的侧面积S=2$\sqrt{3}+8\sqrt{3}+2\sqrt{51}$=$10\sqrt{3}+2\sqrt{51}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的侧面积的求法，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．