Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥CB，M，N分别是线段AE，AP上的动点，且满足：

AM

AE

=

AN

AP

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；
（Ⅱ）求λ的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 证明：由

AM

AE

=

AN

AP

=λ，得MN∥PE，由线面平行的判定定理，所以MN∥平面ABC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A．所以∠NCA=45°．在△NCA中运用正弦定理得，λ=

3

-1

解答：解：（Ⅰ） 证明：由

AM

AE

=

AN

AP

=λ，得MN∥PE，
又依题意PE∥BC，所以MN∥BC．
因为MN?平面ABC，BC?平面ABC，
所以MN∥平面ABC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A．
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，
所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知∠NCA为二面角N-CB-A的平面角．
所以∠NCA=45°．在△NCA中运用正弦定理得，

AN

AC

=

sin45°

sin75°

=

2 2

6 + 2 4

=

3

-1．
所以λ=

AN

AP

=

3

-1．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．