练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2012•东莞市模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
    （Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
    （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1？试画出图形；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点为E，求平面AB1E与平面ABCD所成二面角的余弦值．
    分析：（Ⅰ）直接画出该几何体的直观图如图1所示，然后求出所求体积．
    （Ⅱ）结合体积关系，说明用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
    其拼法如图2所示．通过VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D  故所拼图形成立．
    （Ⅲ）设B1E，BC的延长线交于点G，连接GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连接HB1，说明∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角．在Rt△ABG中，求解平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值．
    解答：解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
    侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为6的
    正方形，高为CC1=6，故所求体积是V=
    1
    3
    ×62×6=72      …（4分）
    （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
    故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
    其拼法如图2所示．
    证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的
    正方形，于是VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D  故所拼图形成立．…（4分）
    （Ⅲ）设B1E，BC的延长线交于点G，
    连接GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，
    连接HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与
    平面ABC所成二面角或其补角的平面角．
    在Rt△ABG中，AG=
    		180
    ，
    则BH=
    6×12
    		180
    =
    12
    		5
    ，
    B1H=
    		BH2+BB12
    =
    18
    		5
    ，
    cos∠B1HB=
    HB
    HB1
    =
    2
    3
    ，
    故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为
    2
    3
    ．…（4分）
    点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，平面与平面所成角的求法，考查计算能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•东莞市模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
    （1）求f（x）的最小正周期和最大值；
    （2）若θ为锐角，且f(θ+
    π
    8
    )=
    		2
    3
    ，求tan2θ的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•东莞市模拟）（ax-
    1
    		x
    ）8的展开式中x2的系数为70，则实数a的值为
    1或-1
    1或-1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•东莞市模拟）设函数f（x）=logax（a为常数且a＞0，a≠1），已知数列f（x1），f（x2），…，f（xn），…是公差为2的等差数列，且x1=a2．
    （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅱ）当a=
    1
    2
    时，求证：x1+x2+…+xn＜
    1
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•东莞市模拟）已知函数f（x）=x2-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x-1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．
    （1）求f（2）的值；
    （2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；
    （3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x1）-F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案