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把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.
(Ⅰ)记事件A为“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
只有一组解”,求事件A的概率;
(Ⅱ)记事件B为“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
有解”,求事件B的概率.
分析:(I)将方程组
ax+by=5
x2+y2=1
的解的个数转化为直线ax+by=5与圆x2+y2=1的交点个数.利用点到直线的距离公式得到方程只有一组解即
a=3
b=4
,或
a=4
b=3
,利用古典概型的概率公式求出概率.
(II)“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
有解”即d=
5
a2+b2
≤1?a2+b2≥25
,列出包含的所有基本事件,利用古典概型的概率公式求出概率.
解答:解:(Ⅰ)依题意知,方程组
ax+by=5
x2+y2=1
的解的个数,
就是直线ax+by=5与圆x2+y2=1的交点个数.
设圆心O(0,0)到直线ax+by=5的距离是d,则d=
5
a2+b2

∵圆的半径是1,
∴当d=1,即a2+b2=25时,直线与圆相切,此时方程组只有一组解.
∵a,b∈{1,2,3,4,5,6},
a=3
b=4
,或
a=4
b=3
时,a2+b2=25,
而投掷两次骰子,a,b所有的情况有36种,
所以方程组只有一组解的概率是P(A)=
2
36
=
1
18

(Ⅱ)要使方程组有解,由(Ⅰ)得,d=
5
a2+b2
≤1?a2+b2≥25

所以a,b有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6),(3,4),(4,3)共有23种情况.
P(B)=
23
36
点评:求一个事件的概率问题,应该先判断出事件的所属的概率模型,然后选择合适的概率公式进行计算.
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科目:高中数学 来源: 题型:

把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b.设事件A“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
只有一组解”,则事件A发生的概率等于(  )
A、
1
3
B、
1
9
C、
1
18
D、
1
36

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把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.
(1)记A为“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
只有一组解”求A的概率;
(2)设f(x)=ax+
x
x-1
(x>1)
.求事件f(x)>b恒成立的概率.

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A.
B.
C.
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把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b.设事件A“方程组只有一组解”,则事件A发生的概率等于( )
A.
B.
C.
D.

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