Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x值满足f（x）≤0的实数x值满足f（x）≤0．
（1）在数列{a_n}中，满足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通项；
（2）在数列{a_n}中依次取出第1项、第2项、第4项…第2^n-1项…组成新数列{b_n}，求新数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）（理科）设数列{c_n}满足c_n+c_n+1=2n+3，c₁=1，数列{c_n}的前n项和记作H_n，试比较H_n与题（1）中S_n的大小．
（4）（文科）设c_n=

n

anan+1

，求数列{cn}的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数性质，，△=0，解方程得出a的值，得出S_n=的解析式，利用数列中Sn与a_n的固有关系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，求出{a_n}的通项
（2）由已知，得出b_n=2×2^n-1-5，采用等比数列求和公式，分组法求和．
（3）（理）由

cn+cn+1=2n+3 cn+1+cn+2=2n+5

得出c_n+2-c_n=2，偶数项成等差数列，奇数项也成等差数列，对n分奇偶性分类求和．
（4）（文）c_n=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

利用函数的数列性质，得出{c_n }的单调性，再求出最值即可．

解答：解（1）∵f（x）≤0仅有唯一的x值满足，∴△=0，∴a=0或4，∵a≠0，∴a=4
S_n=n²-4n，a_n=

s1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

=

-3(n=1) 2n-5(n≥2)

∴an=2n-5
（2）b_n：b₁=2×1-5，b₂=2×2-5，b₃=2×4-5，…b_n=2×2^n-1-5
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1+2+4+…+2^n-1）-5n
=2

1-2n

1-2

-5n=2(2n-1)-5n=2n+1-5n-2
（3）（理科）

cn+cn+1=2n+3 cn+1+cn+2=2n+5

，∴c_n+2-c_n=2，c₁=1，c₂=4
c_n：1，3，5，7，9…
  4，6，8，10…
当n为偶数，n=2k，H_n=5+9+13+…=5k+

k(k-1)

2

4=

n2+3n

2

当n为奇数，n=2k-1，H_n=1+（7+11+15+…）
=1+7（k-1）+

(k-1)(k-2)

2

4=

n2+3n-2

2

∴H_n=

n2+3n 2 ，n=2k(k=1，2，3…) n2+3n-2 2 ，n=2k-1(k=1，2，3…)

当n=2k与n=2k-1时，分别比较H_n与S_n大小（作差比较）
当1≤n≤10时，H_n＞S_n
当n≥11时，H_n＜S_n
 （4）（文科）c_n=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

c₁=

1

3

，c₂=-2，当n≥3时，4n+

15

n

单调递增，且4n+

15

n

-16＞0，
∴（c_n）_min=c₂=-2；∴（c_n）_max=c₃=1

点评：本题考查构造法求数列通项公式，等比数列的判定，数列公式法、分组法求和，数列的函数性质．考查推理论证、计算能力，分类讨论的思想．