Question

(理)已知f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点.若点B的坐标为(2,0),且f(x)在［-1,0］和［4,5］上有相同的单调性,在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性.

(1)求c的值.

(2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x₀,y₀),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)求|AC|的取值范围.

(文)已知函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在区间［0,1］单调递增,在区间［1,2)单调递减.

(1)求a的值;

(2)若点A(x₀,f(x₀))在函数f(x)的图象上,求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上;

(3)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx²-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在,请求出实数b的值;若不存在,试说明理由.

Answer 1

(理)解：(1)f′(x)=3ax²+2bx+c.                                              

依题意f(x)在［-1,0］和［0,2］上有相反的单调性.

所以x=0是f(x)的一个极值点.

故f′(0)=0,得c=0.                                                           

(2)令f′(x)=0,得3ax²+2bx=0.

解得x₁=0,x₂=.                                                        

因为f(x)在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性,

所以f′(x)在［0,2］和［4,5］上有相反的符号.

故2≤≤4-6≤≤-3.                                             

假设存在点M(x₀,y₀)使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则f′(x₀)=3b,

即3ax₀²+2bx₀-3b=0.

因为Δ=(2b)²-4×3a(-3b)=4b²+36ab=4ab(+9),

且-6≤≤-3,所以3≤+9≤6,且a、b异号.

所以Δ=4ab(+9)＜0.

故不存在点M(x₀,y₀),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b.                        

(3)设A(α,0),C(β,0),依题意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β),

即f(x)=a［x³-(2+α+β)x²+(2α+2β+αβ)x-2αβ］

=ax³-a(2+α+β)x²+a(2α+2β+αβ)x-2aαβ.

所以

即.                                                      

所以|AC|=|α-β|=.

因为-6≤≤-3,所以当=-6时,|AC|_max=;

当=-3时,|AC|_min=3.

故3≤|AC|≤4.                                                       

(文)解：(1)由函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在区间［0,1］上单调递增,在区间［1,2)上单调递减,所以x=1时,取得极大值.

所以f′(1)=0.                                                              

因为f′(x)=4x³-12x²+2ax,

所以4-12+2a=0.解得a=4.                                                   

(2)因为点A(x₀,f(x₀))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x₀,f(x₀)),                

且f(2-x₀)=(2-x₀)⁴-4(2-x₀)³+4(2-x₀)²-1

=(2-x₀)²［(2-x₀)-2］²-1

=x₀⁴-4x₀³+4x₀²-1=f(x₀).                                                      

所以点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.                      

(3)因为函数g(x)=bx²-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,

等价于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3个不等实根.                              

由x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1,得x⁴-4x³+(4-b)x²=0.

因为x=0是其中一个根,

所以方程x²-4x+(4-b)=0有2个非零且不等的实数根.                            

故由得b＞0且b≠4.