Question

6．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（2，$\frac{π}{6}$），曲线C的极坐标方程为ρ²+2ρsinθ=3．
（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
（2）若Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由点P的极坐标和曲线C的极坐标方程，能求出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程．
（2）求出曲线C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数和直线l的普通方程：$\sqrt{3}x+y-3=0$，由此利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质能求出点M到直线l距离的最大值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵点P的极坐标为（2，$\frac{π}{6}$），
∴x=2×$cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，y=2×$sin\frac{π}{6}$=1，
∴点P的直角坐标为P（$\sqrt{3}$，1）．
∵曲线C的极坐标方程为ρ²+2ρsinθ=3，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²+2y-3=0．
（2）由（1）知，C的直角坐标方程为x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数，
∴PQ的中点M（$\frac{\sqrt{3}}{2}+cosθ$，sinθ），
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）化为普通方程，得：$\sqrt{3}x+y-3=0$，
∴M到直线l的距离：
d=$\frac{|\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}+cosθ）+sinθ-3||}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}|sinθ+\sqrt{3}cosθ|$=$\frac{1}{2}|2sin（θ+\frac{π}{3}）|$≤1．
∴点M到直线l距离的最大值为1．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和三角函数性质的合理动作．