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【题目】已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方;
(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.

【答案】
(1)解:

由f(x)在R上是增函数,则 即﹣2≤a≤2,则a范围为﹣2≤a≤2;


(2)解:由题意得对任意的实数x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,

即x|x﹣a|<1,当x∈[1,2]恒成立,即 ,故只要 在x∈[1,2]上恒成立即可,

在x∈[1,2]时,只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可,

而当x∈[1,2]时, 为增函数,

当x∈[1,2]时, 为增函数,

所以


(3)解:当﹣2≤a≤2时,f(x)在R上是增函数,则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根;

则当a∈(2,4]时,由 得x≥a时,f(x)=x2+(2﹣a)x对称轴

则f(x)在x∈[a,+∞)为增函数,此时f(x)的值域为[f(a),+∞)=[2a,+∞),x<a时,f(x)=﹣x2+(2+a)x对称轴

则f(x)在 为增函数,此时f(x)的值域为 ,f(x)在 为减函数,此时f(x)的值域为

由存在a∈(2,4],方程f(x)=tf(a)=2ta有三个不相等的实根,则

即存在a∈(2,4],使得 即可,令

只要使t<(g(a))max即可,而g(a)在a∈(2,4]上是增函数,

故实数t的取值范围为 ;(15分)

同理可求当a∈[﹣4,﹣2)时,t的取值范围为

综上所述,实数t的取值范围为


【解析】(1)由题意知f(x)在R上是增函数,则 即﹣2≤a≤2,则a范围.(2)由题意得对任意的实数x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,即 ,故只要 在x∈[1,2]上恒成立即可,在x∈[1,2]时,只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可.由此可知答案.(3)当﹣2≤a≤2时,f(x)在R上是增函数,则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根存在a∈(2,4],方程f(x)=tf(a)=2ta有三个不相等的实根,则 ,即存在a∈(2,4],使得 即可,由此可证出实数t的取值范围为

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B.( ]
C.[﹣1,
D.[ ,1]

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