Question

（本小题满分16分）

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域.      (5分)

（ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域.        (5分) 

（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？          (6分)

 

 

Answer 1

【答案】

解:（1）（i）由题意知, AC=, BC=,     

              ---------------------------------2分

其中 当时，y=0.065 , 所以k=9

所以  ------------------------------3分

（ii）如图,由题意知AC⊥BC,, -----7分

其中当时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为-------------------10分

（2）（i）-------------------------------4分

当且仅当   即当AC时, 即当C点到城A的距离为时, 函数

有最小值. ---------------------------------16分

 

（ii）,,

令得,所以,即,

当时, ,即所以函数为单调减函数

,当时, ,即所以函数为单调增函数------14分

.所以当时, 即当C点到城A的距离为时,

函数有最小值.           --16分

解法二: （1）同上.

（2）设,

则,,所以

 -----10分

当且仅当即时取”=”.

∴弧上存在一点，

当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.     16分

 

【解析】略