Question

已知函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数，
（Ⅰ）实数m的取值集合为A，当m取集合A中的最小值时，定义数列{a_n}满足a₁=3，且a_n＞0，an+1=

-3f′(an)+9

，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＞

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数，得其导函数在（0，1）上大于等于0恒成立，分离参数后求出m的取值集合A，把m的最小值代入导函数解析式，由an+1=

-3f′(an)+9

整理得到数列{a_n}是等比数列，并求出公比，在数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=na_n，利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和为S_n，放缩后可证得不等式Sn＞

3

4

．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=-x³+mx，得f′（x）=-3x²+m，
∵f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数，∴f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x²，得m≥3，
故所求的集合A为[3，+∞）；
∴m=3，∴f′（x）=-3x²+3，
∵an+1=

-3f′(an)+9

，a_n＞0，∴an+1=

9an2

=3a_n，
又a₁=3≠0，∴

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是以3为首项，以3为公比的等比数列，故an=3•3n-1=3n；
（Ⅱ）由（1）得，b_n=na_n=n•3ⁿ，
∴S_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ        ①
3S_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹      ②
①-②得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹
化简得，Sn=

3

4

+

(2n-1)•3n

4

＞

3

4

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了分离参数法求最值，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，考查了利用放缩法证明不等式，是中高档题．