Question

为了降低能损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

Answer 1

（1）40，；（2）当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．

试题分析：（1）根据建筑物每年的能消耗费用C与隔热层厚度x满足关系，令即可得的值，可得建筑物每年的能消耗费用C与隔热层厚度x满足关系式，把隔热层建造费用与20年的能耗费用相加再化简既得f(x)的表达式（注意不要忘记的取值范围）；（2）把（1）中f(x)的表达式化成重要不等式的形式，利用重要不等式求f(x)的最小值和取得最小值时的取值.
试题解析：(1)当x＝0时，C(0)＝8，即＝8，所以k＝40，所以C(x)＝，
所以f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．          6分
(2)f(x)＝2(3x＋5)＋－10≥2－10＝70，
当且仅当2(3x＋5)＝，即x＝5时，等号成立，因此最小值为70，      14分
所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．