【题目】已知抛物线:
的焦点为
,点
为其上一点,且
.
(1)求与
的值;
(2)如图,过点作直线
交抛物线于
、
两点,求直线
、
的斜率之积.
【答案】(1)p=4, ;(2)直线
、
的斜率之积为
.
【解析】试题分析:(1)利用和点在抛物线上即可求解;
(2)讨论斜率不存在和斜率存在时两种情况,斜率不存在直接检验即可;当直线的斜率存在,设为
,则其方程可表示为:
,与抛物线联立,
,
,利用韦达定理求解即可.
试题解析:
(1)抛物线:
的焦点为
,准线为
。
由抛物线定义知:点到
的距离等于
到准线的距离,故
,
,抛物线
的方程为
点
在抛物线
上,
,
(2)由(1)知:抛物线的方程为
,焦点为
若直线的斜率不存在,则其方程为:
,代入
,易得:
,
,从而
;
若直线的斜率存在,设为
,则其方程可表示为:
,
由,消去
,得:
即
,
设,
,则
从而
综上所述:直线、
的斜率之积为
。
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【题目】已知函数定义在
上的奇函数,
的最大值为
.
(1)求函数的解析式;
(2)关于的方程
在
上有解,求实数
的取值范围;
(3)若存在,不等式
成立,请同学们探究实数
的所有可能取值.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log (-x+1).
(1)求f(0),f(1);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
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【题目】某车间20名工人年龄数据如下表:
年龄(岁) | 19 | 24 | 26 | 30 | 34 | 35 | 40 | 合计 |
工人数(人) | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 | 20 |
(1)求这20名工人年龄的众数与平均数;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)从年龄在24和26的工人中随机抽取2人,求这2人均是24岁的概率.
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【题目】设A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合:
①x∈[0,+∞),都有f(x)∈(1,4];②f(x)在[0,+∞)上是减函数.
(1)判断函数f1(x)=2-和f2(x)=1+3·
(x≥0)是否属于集合A,并简要说明理由;
(2)把(1)中你认为是集合A中的一个函数记为g(x),若不等式g(x)+g(x+2)≤k对任意的x≥0总成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知椭圆的右焦点
,椭圆
的左,右顶点分别为
.过点
的直线
与椭圆交于
两点,且
的面积是
的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若与
轴垂直,
是椭圆
上位于直线
两侧的动点,且满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来,引发各方关注,收视率、点击率均占据各大排行榜首位.我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查,共调查了600人,得到结果如下:其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图;表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数.
观看方式 年龄(岁) | 电视 | 网络 |
150 | 250 | |
120 | 80 |
求:(I)假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替,求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄;
(II)根据表1,通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关?
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(Ⅰ)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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