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对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]?D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)<c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法:
①“平顶型”函数在定义域内有最大值;
②函数f(x)=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数;
③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数;
④当t≤时,函数,是区间[0,+∞)上的“平顶型”函数.
其中正确的是    .(填上你认为正确结论的序号)
【答案】分析:根据题意,“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c,且这个常数是函数的最大值,但是定义并没有指出函数最小值的情况.由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质,对于四个选项逐个加以判断,即得正确答案.
解答:解:对于①,根据题意,“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c,且这个常数是函数的最大值,故①正确.
对于②,函数f(x)=x-|x-2|=,当且仅当x∈[2,+∞)时,函数的最大值为2,符合“平顶型”函数的定义,故②正确.
对于③,函数f(x)=sinx-|sinx|=,但是不存在区间[a,b],对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=2,
所以f(x)不是“平顶型”函数,故③不正确.
对于④当t≤时,函数,,当且仅当x∈(-∞,1]时,函数的最大值为2,符合“平顶型”函数的定义,故④正确.
故答案为 ①②④.
点评:本题以命题真假的判断为载体,着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]⊆D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)>c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数.
(Ⅰ)判断函数f1(x)=|x-1|+|x-2|和f2(x)=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;
(Ⅱ)设f(x)是(Ⅰ)中的“平底型”函数,k为非零常数,若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x)对一切t∈R恒成立,求实数x的取值范围;
(Ⅲ)若函数g(x)=mx+
x2+2x+n
是区间[-2,+∞)上的“平底型”函数,求m和n的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•成都二模)对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对?x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0,1]上的“非增函数”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又当x∈[0,
1
4
]
时,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题:
①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,时,f(x1)≠f(x)
?x∈[
1
4
3
4
]
时,都有f(x)=
1
2

④函数f(x)的图象关于点(
1
2
1
2
)
对称
其中你认为正确的所有命题的序号为
①③④
①③④

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(2013•盐城一模)对于定义在区间D上的函数f(x),若任给x0∈D,均有f(x0)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭.
(1)试判断f(x)=x-1在区间[-2.1]上是否封闭,并说明理由;
(1)若函数g(x)=
3x+ax+1
在区间[3,10]上封闭,求实数a的取值范围;
(1)若函数h(x)=x3-3x在区间[a,b[(a,b∈Z)上封闭,求a,b的值.

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(2012•绵阳三模)对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]?D和常数c,.使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)<c恒成立,则称函数f(X)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法:
①“平顶型”函数在定义域内有最大值;
②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值;
③函数f(x)=-|x+2|-|x-1|为R上的“平顶型”函数;
④函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数.
则以上说法中正确的是
①③
①③
.(填上你认为正确结论的序号)

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(2012•绵阳三模)对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]?D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)<c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法:
①“平顶型”函数在定义域内有最大值;
②函数f(x)=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数;
③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数;
④当t≤
3
4
时,函数,f(x)=
2,(x≤1)
log
1
2
(x-t),(x>1)
是区间[0,+∞)上的“平顶型”函数.
其中正确的是
①②④
①②④
.(填上你认为正确结论的序号)

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