Question

四位同学在研究函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)时，分别给出下面四个结论：
①函数 f（x）的图象关于y轴对称；       
②函数f（x）的值域为 （-1，1）；
③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则 fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．  
你认为上述四个结论中正确的有

②③④

．

Answer 1

分析：根据题意，利用函数的奇偶性、单调性及递推关系对四个选项逐一判断即可．

解答：解：∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴函数 f（x）为奇函数，故其图象关于原点对称，①错误；
对于②，当x＞0时，f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈（0，1），
当x＜0时，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1，
∵x＜0，
∴-x＞0，1-x＞1，
∴0＜

1

1-x

＜1，-1＜

1

1-x

-1＜0，
∴当x＜0时，f（x）∈（-1，0），
又f（0）=0，
∴函数f（x）的值域为 （-1，1），即②正确；
由②的分析可知，当x＞0时，f（x）=1-

1

1+x

为单调函数，同理，当x＜0时，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1也是单调函数，
∴若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正确；
对于④，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
同理可求，f₃（x）=

x

1+3|x|

，…
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数f（x）=

x

1+|x|

的性质，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题