Question

20．等差数列{a_n}中，已知公差d=2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$（-1）^{n}\frac{4n}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁，S₂，S₄成等比数列，可得${S}_{2}^{2}={S}_{1}{S}_{4}$，即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁$（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}×2）$，化简整理解出即可．
（2）b_n=（-1）ⁿ$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵S₁，S₂，S₄成等比数列，∴${S}_{2}^{2}={S}_{1}{S}_{4}$，∴$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁$（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}×2）$，化为a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$（-1）^{n}\frac{4n}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴当n为偶数时，{b_n}的前n项和T_n=-$（1+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$-…+$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=-1+$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{-2n}{2n+1}$．
当n为奇数时，{b_n}的前n项和T_n=-$（1+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$-…-$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{-2（n-1）}{2（n-1）+1}$-$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{2-2n}{2n-3}$-$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{2-2n}{2n-3}$-$\frac{4n}{4{n}^{2}-1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2n}{2n+1}，n为偶数}\\{\frac{2-2n}{2n-3}-\frac{4n}{4{n}^{2}-1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．