Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

分析：先将直线与圆的方程联立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得y1•y2=

12+m

5

，又因为OP⊥OQ，转化为x₁•x₂+y₁•y₂=0求解．

解答：解：设P、Q的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由OP⊥OQ可得：

OP

⊥

OQ

，即

OP

•

OQ

=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+m=0
化简得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．
所以x₁•x₂+y₁•y₂=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂=9-6（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=9-6×4+5×

12+m

5

=m-3=0
解得：m=3．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题．