【题目】定义在上的函数
满足对任意
,
,恒有
,且
不恒为0.
(1)求和
的值;
(2)试判断的奇偶性,并加以证明;
(3)若,恒有
,求满足不等式
的
的取值集合.
【答案】(1) ,
;(2)详见解析;(3)
.
【解析】试题分析:本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法,二是“打回原型”,赋值法是最常用的解题方法,巧妙的赋值可求出函数的特值,本题的第一步就是赋值法,发也可以判断分别给x,y赋值1和就可求出所求函数值,给y赋值
可判断函数的奇偶性,利用
可以证明函数的单调性,借助函数的奇偶性和单调性以及特殊点特殊值可以模拟出函数的图象,在此基础上可以解不等式.
试题解析:
(1)令,得
,∴
,
令,得
,∴
.
(2)令,由
可得
,
∵,∴
,
又不恒为0,∴
是偶函数.
(3)若时,恒有
,此时
为增函数,
由,得
,
由(2)知,,∴
,
又∵在
上为增函数,∴
,
∴.
∴的取值集合是
.
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【题目】椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为
.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
,
两点且
,是否存在以原点
为圆心的定圆与直线
相切?若存在求出定圆的方程;若不存在,请说明理由
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【题目】已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0,a≠1).
(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求f(x)的最值;
(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.
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【题目】直三棱柱中,
分别是
的中点, 且
,
(1)证明: .
(2)棱上是否存在一点
,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
若存在,说明点
的位置,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数
(1)若函数的图象与x轴无交点,求a的取值范围;
(2) 若函数在[-1,1]上存在零点,求a的取值范围;
(3)设函数,当
时,若对任意的
,总存在
,使得
,求b的取值范围.
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【题目】已知圆:
过椭圆
:
(
)的短轴端点,
,
分别是圆
与椭圆
上任意两点,且线段
长度的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作圆
的一条切线交椭圆
于
,
两点,求
的面积的最大值.
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