分析 (1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PB与EC所成角的余弦值.
(2)求出平面PAB的一个法向量和平面AEC的法向量,利用向量法能求出λ的值.
解答 解:(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,4,0),P(0,0,2),C(2,4,0),
∵$\frac{PE}{PD}$=λ,∴设E(0,a,b),则$\overrightarrow{PE}$=(0,a,b-2),
$\overrightarrow{PD}$=(0,4,-2),$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}$,即(0,a,b-2)=λ(0,4,-2),
解得a=4λ,b=2-2λ,∴E(0,4λ,2-2λ),
当$λ=\frac{1}{2}$时,E(0,2,1),$\overrightarrow{PB}$=(2,0,-2),$\overrightarrow{EC}$=(2,2,-1),
cos<$\overrightarrow{PB},\overrightarrow{EC}$>=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴异面直线PB与EC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)$\overrightarrow{AP}$=(0,0,2),$\overrightarrow{AB}$=(2,0,0),$\overrightarrow{AC}$=(2,4,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,4λ,2-2λ),
由题意知$\overrightarrow{AD}$=(0,4,0)是平面PAB的一个法向量,
充平面AEC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=4λy+(2-2λ)z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+4y=0}\end{array}\right.$,取x=2,得平面AEC的法向量$\overrightarrow{m}$=(2,-1,$\frac{2λ}{1-λ}$),
∵平面PAB与平面ACE所成二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$,
∴|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5+(\frac{2λ}{1-λ})^{2}}}$=$\frac{1}{3}$,
解得$λ=\frac{1}{2}$.
点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查满足条件的实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
投入资金x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
利润y | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\root{n}{{a}^{n}}$=a | B. | ($\frac{n}{m}$)7=n${\;}^{\frac{1}{7}}$m7 | C. | $\root{12}{(-2)^{4}}$=$\root{3}{-2}$ | D. | $\sqrt{\root{3}{9}}$=$\root{3}{3}$ |
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