Question

已知(x

x

+

2

3 x

)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37．
（1）求x的整数次幂的项；
（2）分别求出展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用(x

x

+

2

3 x

)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，建立方程求得n，利用展开式的通项，即可求x的整数次幂的项；
（2）利用二项展开式的通项公式根据展开式中最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数求出展开式中系数最大的项；据展开式中间项的二项式系数最大，可得二项式系数最大的项．

解答：解：（1）由题意，(x

x

+

2

3 x

)n的展开式的前三项的二项式系数之和为C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
∴n²+n-72=0，∴n=8
∴知(x

x

+

2

3 x

)n的展开式的通项为T_r+1=

C

r 8

x12-

11r

6

当r=0，6时，x的指数为整数
∴x的整数次幂的项有x¹²，28x；
（2）设展开式中第r+1项系数最大，则

C r 8 ≥ C r-1 8 C r 8 ≥ C r+1 8

∴

7

2

≤r≤

9

2

，∴r=4
∴展开式中系数最大的项是第5项，为70x

14

3

；
展开式共有9项，据展开式中间项的二项式系数最大，可得二项式系数最大的项是第5项，为70x

14

3

．

点评：本题以二项式为载体，考查考展开式中二项式系数最大项，考查二项展开式中的系数最大的项的求法，利用最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数是求二项展开式中的系数最大的项的关键