Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，

而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，

从而a=4，b=2，c=2，d=2；

（2）解：由（1）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）

设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，

则F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），

由题设得F（0）≥0，即k≥1，

令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，

①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，

即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），

而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．

②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，

即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．

③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），

而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，

综上，k的取值范围是[1，e2]．

【解析】（1）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（2）由（1）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．