Question

20．已知函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＞0成立．若a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（ln2）•f（ln2），c=（log₂4）•f（log₂4），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞c＞a
• C． c＞b＞a
• D． c＞a＞b

Answer 1

分析 利用函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，可得函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），利用已知当x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，可得函数g（x）在x∈（-∞，0）单调递增，进而得到函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．再根据log₂4=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0．即可得到a，b，c的大小．

解答 解：∵函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，
∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．
令g（x）=xf（x），则g（x）为奇函数，
则当x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（-∞，0）单调递增，
因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵log₂4=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0．
∴c＞a＞b．
故选D．

点评 熟练掌握轴对称、奇偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质等是解题的关键．