Question

14．如皋市某电子厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，正品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：$\begin{array}{l}P=\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{96-x}（1≤x≤c，x∈N，1≤c＜96）\\ \frac{1}{3}（x＞c，x∈N）\end{array}\right.\end{array}$
（注：正品率$P=\frac{合格品数}{生产量}$，如P=0.9表示每生产10件产品，约有9件为合格品，其余为次品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损$\frac{A}{2}$元，故厂方希望定出合适的日产量，
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？

Answer 1

分析 （1）通过每天的赢利T=日产量（x）×正品率（P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（1-P）×亏损（$\frac{A}{2}$），列出表达式、整理即可；
（2）通过（1）可知只需考查f（x）=A（x-$\frac{3x}{192-2x}$）的单调性即可，进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，T=x•P•A-x•（1-P）•$\frac{A}{2}$
=$\frac{3}{2}$xPA-$\frac{1}{2}$xA
=$\left\{\begin{array}{l}{xA（1-\frac{3}{192-2x}），}&{1≤x≤c，1≤c＜96}\\{0，}&{x＞c}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，只需考查1≤x≤c时的情况即可．
记f（x）=A（x-$\frac{3x}{192-2x}$），则f′（x）=A•$\frac{4（{x}^{2}-192x+48•189）}{（192-2x）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=84，
且当x＜84时f′（x）＞0、当x＞84时f′（x）＜0，
∴当c≤84时，日产量为c时利润最大；
当84＜c＜96时，日产量为84时利润最大．

点评 本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，注意解题方法的积累，属于中档题．