Question

12．已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函数；又定义行列式|$\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}$|=a₁a₄-a₂a₃； 函数g（θ）=|$\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}$|（其中0≤θ≤$\frac{π}{2}$）．
（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数；
（2）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值；
（3）若记集合M={m|任意的0≤θ≤$\frac{π}{2}$，g（θ）＞0}，N={m|任意的0≤θ≤$\frac{π}{2}$，f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

分析 （1）利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
（2）由已知可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由定义表示出g（θ），根据二次函数的性质分类讨论可表示出其最大值，令其为4可求m值；
（3）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，则M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，从而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，转化为不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，分离出参数m后，转化为求函数的最值即可，变形后借助“对勾函数”的性质可求得最值；

解答 证明：（1）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（-x₁）+f（-x₂）=f（-x₂）-f（-x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
解：（2）g（θ）=|$\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}$|
=sin²θ+mcosθ-3m
=1-cos²θ+mcosθ-3m，
=-（cosθ-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}}{4}-3m+1$，
∵函数g（θ）的最大值为4，f（x）在（-∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，
∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosθ∈[0，1]，
g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（$\frac{m}{2}≤0$），cosθ=1（$\frac{m}{2}≥1$），cosθ=$\frac{m}{2}$（0＜$\frac{m}{2}＜1$）处取得，
若cosθ=0，g（θ）=4，则有1-3m=4，m=-1，此时$\frac{m}{2}=-\frac{1}{2}$，符合；
若cosθ=1，g（θ）=4，则有-2m=4，m=-2，此时$\frac{m}{2}=-1$，不符合；
若cosθ=$\frac{m}{2}$，g（θ）=4，则有$\frac{{m}^{2}}{4}-3m+1=4$，m=6+4$\sqrt{3}$或m=6-4$\sqrt{3}$，此时$\frac{m}{2}$=3+2$\sqrt{3}$或m=3-2$\sqrt{3}$，不符合；
综上，m=-1．
（3）∵f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（-2）=0，
又f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上均是增函数，
由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，
又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，
∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
当m＞$\frac{-1-co{s}^{2}θ}{3-cosθ}$=$\frac{-（3-cosθ）^{2}+6（3-cosθ）-10}{3-cosθ}$
=-（3-cosθ）-（$\frac{10}{3-cosθ}$）+6=-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosθ∈[0，1]，3-cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）$≥\frac{19}{3}$，-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6∈[-1，-$\frac{1}{3}$]，
此时，m＞-$\frac{1}{3}$；
$\frac{π}{2}$=-（3-cosθ）-（$\frac{10}{3-cosθ}$）+6=-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosθ∈[0，1]，3-cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）$≥\frac{19}{3}$，-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6∈[-1，-$\frac{1}{3}$]，
此时，m＞-$\frac{1}{3}$．
当m＜$\frac{1-co{s}^{2}θ}{3-cosθ}$=$\frac{-（3-cosθ）^{2}+6（3-cosθ）-8}{3-cosθ}$
=-（3-cosθ）-（$\frac{8}{3-cosθ}$）+6
=-[（3-cosθ）+（$\frac{8}{3-cosθ}$）]+6，
∴6≥（3-cosθ）+（$\frac{8}{3-cosθ}$）$≥4\sqrt{2}$，-[（3-cosθ）+（$\frac{8}{3-cosθ}$）]+6∈[0，6-4$\sqrt{2}$]，
此时，m＜0；
综上，m∈（-$\frac{1}{3}$，0）．  
∴M∩N=（-$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题考查增函数的证明，考查实数值的求法，考查交集的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意二阶行列式性质、三角函数性质的合理运用．