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某商场经过市场调查分析后得知,2003年从年初开始的前n个月内,对某种商品需求的累计数f(n)(万件)近似地满足下列关系:f(n)=
190
n(n+2)(18-n) , n=1 ,2 , 3 , …, 12

(1)问这一年内,哪几个月需求量超过1.3万件?
(2)若在全年销售中,将该产品都在每月初等量投放市场,为了保证该商品全年不脱销,每月初至少要投放多少件商品?(精确到件)
分析:(1)首先求出第n个月的月需求量,根据需求量超过1.3万件建立等式关系,可求出所求;
(2)设每月初等量投放商品a万件,要使商品不脱销,对于第n个月来说,不仅有本月投放市场的a万件商品,还有前几个月未销售完的商品.所以,需且只需:na-f(n)≥0,将a分离出来,利用基本不等式可求出a的最值.
解答:解:(1)首先,第n个月的月需求量=
f(1),n=1
f(n)-f(n-1),2≤n≤12

f(n)=
1
90
n(n+2)(18-n)

f(1)=
17
30
<1.3

当n≥2时,f(n-1)=
1
90
(n-1)(n+1)(19-n)

f(n)-f(n-1)=
1
90
(-3n2+35n+19)

令f(n)-f(n-1)>1.3,即-3n2+35n+19>117,解得:
14
3
<n<7

∵n∈N,∴n=5,6
即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件.
(2)设每月初等量投放商品a万件,要使商品不脱销,对于第n个月来说,不仅有本月投放市场的a万件商品,还有前几个月未销售完的商品.所以,需且只需:na-f(n)≥0,
a≥
f(n)
n
=
(n+2)(18-n)
90

又∵
(n+2)(18-n)
90
1
90
[
(n+2)+(18-n)
2
]2=
10
9

a≥
10
9

即每月初至少要投放
10
9
万件即11112件商品,才能保证全年不脱销.
点评:本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及利用基本不等式求函数的最值,同时考查了计算能力,属于中档题.
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