Question

6．若R上的奇函数y=f（x）满足f（x）=f（2-x），且当x∈（0，1]时，f（x）=log₃x，则方程f（x）=-$\frac{1}{3}$+f（0）在区间（2016，2018）内的所有实限之和为（　　）

• A． 4032
• B． 4036
• C． 4034
• D． 4030

Answer 1

分析 根据题意得出函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且周期为4，f（0）=0；再利用0＜x≤1时f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$x，求出方程f（x）=-$\frac{1}{3}$+f（0）在区间（2016，2018内的所有实根之和．

解答 解：∵函数y=f（x）满足f（2-x）=f（x），
∴函数f（x）的图象关于x=1对称，
又y=f（x）为奇函数，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，
又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）=0，
∵f（x）=-$\frac{1}{3}$+f（0），
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$，
∵0＜x≤1时，f（x）=log₃x≤0，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$在（0，1）内有一实根x₁，
又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$在（1，2）有一个实根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期为4，
∴f（x）在（4，5），（5，6）上各有一个实根x₃、x₄，且x₃+x₄=10；
在（8，9），（9，10）各有一个实根x₅，x₆，且x₅+x₆=18；…，
以此类推，原方程在区间（2016，2018）内的所有实根之和为2017×2=4034．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性与周期性问题，解题的关键是判断f（x）的周期以及0＜x≤1时，f（x）=log$\frac{1}{3}$x的图象特征，是综合性题目．