Question

8．己知函数h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）写出函数h（x）的单调区间（用x₁，x₂表示，不需要说明理由）
（2）如果函数F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上为增函数．求b的取值范围
（3）当h（x₁）+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂时．求h（x₂）-x₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，写出函数h（x）的单调区间；
（2）如果函数F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上为增函数．b＜1+$\sqrt{1+2m}$，确定2m＞-$\frac{1}{2}$，即可求b的取值范围；
（3）当h（x₁）+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂时．$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$＜0，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，设f（x₂）=$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$，证明f（x₂）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，$\frac{2}{3}$＜x₂＜1，利用h（x₂）-x₁=lnx₂-x₂，设φ（x₂）=lnx₂-x₂，$\frac{2}{3}$＜x₂＜1，证明φ（x₂）在（$\frac{2}{3}$，1）上单调递减，即可求h（x₂）-x₁的取值范围．

解答 解：（1）函数h（x）的单调增区间是（x₁，x₂），单调减区间是（0，x₁），（x₂，+∞）；
（2）函数F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x=lnx-$\frac{1}{2}$x-$\frac{m}{x}$，∴F′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2x+2m}{2{x}^{2}}$
∵在（1，b）上为增函数，
∴b＜1+$\sqrt{1+2m}$，
∵函数h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有两个极值点x₁，x₂，h′（x）=$\frac{-{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$，
∴△=1+4m＞0，∴2m＞-$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{1+2m}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴1＜b≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）h′（x）=$\frac{-{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$=0的两个根分别为x₁，x₂，
∴x₁，x₂是x²-x-m=0的两个正实数根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-m
当h（x₁）+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂时，lnx₁-x₁-$\frac{m}{{x}_{1}}$+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂，
∴$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$＜0．
显然$\frac{1}{2}$＜x₂＜1
设f（x₂）=$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$，
∴f′（x₂）=$\frac{-{{x}_{2}}^{2}}{1-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₂）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，
∵f（$\frac{2}{3}$）=0，
∴f（x₂）＜0=f（$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{2}{3}$＜x₂＜1
∴h（x₂）-x₁=lnx₂-x₂，
设φ（x₂）=lnx₂-x₂，$\frac{2}{3}$＜x₂＜1
∵φ′（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-1＞0，
∴φ（x₂）在（$\frac{2}{3}$，1）上单调递减
∴φ（x₂）∈（ln$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$，-1）
∴h（x₂）-x₁的取值范围是（ln$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$，-1）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，极值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．