Question

如图，已知椭圆

x2

m

+

y2

m-1

=1(2≤m≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f（m）=||AB|-|CD||．
（1）求f（m）的解析式；
（2）求f（m）的最值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的方程可得准线方程，进而得到A，D的坐标，直线与椭圆的方程联立可得△＞0及其根与系数关系，和两点间的距离公式，即可得到f（m）；
（2）利用（1）及其反比例函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a²=m，b²=m-1，c²=a²-b²=1．
∴椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），故直线的方程为y=x+1，
又椭圆的准线方程为x=±

a2

c

，即x=±m，
∴A（-m，-m+1），D（m，m+1）
联立 

y=x+1 x2 m + y2 m-1 =1

，消去y得：（m-1）x²+m（x+1）²=m（m-1），
整理得：（2m-1）x²+2mx+2m-m²=0，△=4m²-4（2m-1）（2m-m²）=8m（m-1）²，
∵2≤m≤5，∴△＞0恒成立，∴xB+xC=

-2m

2m-1

．
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上，∴|AB|=

2

|xA-xB|=

2

(xB-xA)，|CD|=

2

(xD-xC)，
∴||AB|-|CD||=

2

|(xB+xC)-(xA+xD)|，
又∵xA=-m?，xD=m，∴x_A+x_D=0．
∴||AB|-|CD||=

2

|xB+xC|=

2 2 |m|

|2m-1|

=

2 2 m

2m-1

(2≤m≤5)，
∴f(m)=

2 2 m

2m-1

，m∈[2，5]．
（2）由f(m)=

2 2 m

2m-1

，可知f(m)=

2 2

2- 1 m

，又2-

1

2

≤2-

1

m

≤2-

1

5

，
∴f(m)∈[

10 2

9

，

4 2

3

]．
故f（m）的最大值为

4 2

3

，此时m=2；f（m）的最小值为

10 2

9

，此时m=5．

点评：本题可怜虫直线与椭圆相交问题转化为直线与椭圆的方程联立可得△＞0及其根与系数关系、两点间的距离公式、反比例函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．