Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）+ ≥1；
（3）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=mex+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的导函数 ，

由曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0，

知f'（1）=1，f（1）=0，

所以a=1，b=0

（2）证明：令 = ，

则 = ，

当0＜x＜1时，u'（x）＜0，u（x）单调递减；当x＞1时，u'（x）＞0，u（x）单调递增，

所以，当x=1时，u（x）取得极小值，也即最小值，该最小值为u（1）=0，

所以u（x）≥0，即不等式 成立

（3）解：函数g（x）=mex+lnx（x＞0），则 ，

当m≥0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）内单调递增，g（x）无极值，不符合题意；

当m＜0时，由 ，得 ，

结合y=ex， 在（0，+∞）上的图象可知，

关于x的方程 一定有解，其解为x0（x0＞0），

且当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增；

当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减．

则x=x0是函数g（x）的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，

x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，

即 ，则 ．

所以g（x）max=g（x0）= = ．

由于g（x）≤0恒成立，则g（x）max≤0，即 ，（*）

考察函数 ，则 ，

所以h（x）为（0，+∞）内的增函数，且 ， ，

又常数k满足klnk=1，即 ，

所以，k是方程 的唯一根，

于是不等式（*）的解为x0≤k，

又函数 （x＞0）为增函数，故 ，

所以m的取值范围是

【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，可得a，b的值；（2）令 = ，求出导数和单调区间，可得极小值且为最小值，即可得证；（3）g（x）=mex+lnx（x＞0），求出g（x）的导数，讨论m的符号，判断g（x）的单调性，得到x的方程 一定有解，其解为x0（x0＞0），判断为g（x）的最大值点，考察函数 ，求出导数，

由零点存在定理可得k是方程 的唯一根，即可得到所求m的范围．