Question

已知函数f(x)=log4(4x+1)．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）判断函数F（x）=f（x）-4在定义域上的单调性，并用定义证明；
（3）设h(x)=log4(a•2x-

3

4

a)，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过换元，令令t=4^x+1，可求得函数f（x）的值域；
（2）设x₁＜x₂，作差F（x₁）-F（x₂）=log4

1+4x1

1+4x2

，利用函数的性质判断其符合小于0，从而可证函数F（x）=f（x）-x在定义域上为增函数；
（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点?方程log4(4x +1)=log4(a•2x-

3

4

a)有且只有一个实数根?4^x+1=（a•2^x-

3

4

a）有且只有一个实数根，令t=2^x＞0，解关于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（有且只有一个正根）即可．

解答：解：（1）令t=4^x+1，
∵4^x＞0，
∴t＞1，
∴y=log₄t＞0，
所以函数f（x）的值域为（0，+∞）．…（2分）
（2）∵F（x）=f（x）-4的定义域为R，
∴对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则F（x₁）-F（x₂）=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]
=log4

1+4x1

1+4x2

，
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，
∴0＜4x1+1＜4x2+1，从而

4x1+1

4x2+1

＜1，
∴log4

1+4x1

1+4x2

＜0，故F（x₁）-F（x₂）＜0，
即F（x₁）＜F（x₂），
所以函数F（x）=f（x）-x在定义域上为增函数．…（4分）
（3）因为函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x +1)=log4(a•2x-

3

4

a)有且只有一个实数根，
∴4^x+1=（a•2^x-

3

4

a）有且只有一个实数根，
∴（2^x）²+1=（a•2^x-

3

4

a），即（2^x）²-a•2^x+

3

4

a+1=0．
令t=2^x＞0，则关于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（*）有且只有一个正根．                            …（6分）
则方程（*）的两根异号或有两个相等的正根．
∴

△=0 a 2 ＞0

或

3

4

a+1＜0，
∴a=4或a＜-

4

3

；
综上所述，实数a的取值范围是{a|a=4或a＜-

4

3

}．…（8分）

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查换元思想与方程思想，考查函数单调性的定义，考查推理与运算能力，属于难题．