Question

（2013•东城区二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是

4 5

5

．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，利用原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是

4 5

5

，可得

|ab|

b2+a2

=

4 5

5

，利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，可得

a2-b2

a2

=

3

4

，从而可求b²=4，
a²=16，故可求椭圆的方程；
（2）由题意，B（0，-2），设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由E，F在圆上，得x₁²+（y₁+2）²=x₂²+（y₂+2）²，由E，F在直线y=kx+1得y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，代入可得（1+k²）（x₁+x₂）（x₁-x₂）+6k（x₁-x₂）=0，从而可得x₁+x₂=-

6k

1+k2

；将y=kx+1代入

x2

16

+

y2

4

=1，得（1+4k²）x²+8kx-12=0，由根与系数的关系，可得x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，从而可求得k的值．

解答：解：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0
∵原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是

4 5

5

．
∴

|ab|

b2+a2

=

4 5

5

∴a2b2=

16

5

(b2+a2)①
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，
∴

a2-b2

a2

=

3

4

∴a²=4b²②
②代入①，可得b²=4，
∴a²=16
∴椭圆的方程为

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由题意，B（0，-2）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由E，F在圆上，得x₁²+（y₁+2）²=x₂²+（y₂+2）²…③，
由E，F在直线y=kx+1得y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
代入③式，可得（1+k²）（x₁+x₂）（x₁-x₂）+6k（x₁-x₂）=0，
因为E，F为直线上不同两点，所以x₁≠x₂，所以（1+k²）（x₁+x₂）+6k=0，
即x₁+x₂=-

6k

1+k2

④
又由E，F在椭圆上，将y=kx+1代入

x2

16

+

y2

4

=1，得（1+4k²）x²+8kx-12=0，
由根与系数的关系，x₁+x₂=-

8k

1+4k2

…⑤，
将④⑤两式联立求解得k=0（舍）或k=±

2

4

，
故k═±

2

4

．

点评：本题考查的重点是椭圆的方程，解题的关键是利用待定系数法，利用根与系数的关系，建立等式关系，属于中档题．