Question

7．若函数f（x）=ae^-x-e^x为奇函数，则f（x）＜e-$\frac{1}{e}$的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，2）
• C． （2，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根据f（x）为R上的奇函数便有f（0）=0，从而可求得a=1，这便得到f（x）=e^-x-e^x，求导数可得出f′（x）＜0，从而得出f（x）在R上单调递减，而f（-1）=e-$\frac{1}{e}$，从而由原不等式得到f（x-1）＜f（-1），从而有x-1＞-1，这样便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）在R上为奇函数；
∴f（0）=0；
即a-1=0；
∴a=1；
∴f（x）=e^-x-e^x，f'（x）=-e^-x-e^x＜0；
∴f（x）在R上单调递减；
∴由f（x-1）＜e-$\frac{1}{e}$=f（-1）得：x-1＞-1；
即x＞0；
∴原不等式的解集为（0，+∞）．
故选：D．

点评 考查奇函数的定义，以及奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据减函数的定义解不等式的方法．