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【题目】如图1所示,在直角梯形DCEF中,,将四边形ABEF沿AB边折成图2.

1)求证:平面DEF

2)若,求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值.

【答案】1)见解析(2

【解析】

1)连接BD,AC于点O,DE的中点为G,连接FGOG,证明,再利用线面平行判定定理,即可证得平面DEF

2)以C为坐标原点,CBCDCE所在直线分别为xyz轴正方向建立空间直角坐标系,求出平面DEF的法向量,平面EAC的法向量,求出两个法向量夹角的余弦值,从而求得平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值。

1)连接BD,AC于点O,DE的中点为G,连接FGOG,

又因为

所以,且

所以四边形AOGF是平行四边形,

所以

平面DEF平面DEF

所以平面DEF.

2)因为

所以

所以

因为

所以

所以

因为

所以平面ABCD

所以CBCDCE两两垂直,

C为坐标原点,CBCDCE所在直线分别为xyz轴正方向建立空间直角坐标系,

,得

设平面DEF的法向量为

因为

所以由,得

,得

所以

设平面EAC的法向量

因为

所以由,得

,得

设平面DEF与平面EAC所成的锐二面角为

所以

所以平面DEF与平面EAC所成的锐二面角的余弦值为.

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