【题目】如图1所示,在直角梯形DCEF中,,
,
,
,将四边形ABEF沿AB边折成图2.
(1)求证:平面DEF;
(2)若,求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG,OG,证明,再利用线面平行判定定理,即可证得
平面DEF;
(2)以C为坐标原点,CB,CD,CE所在直线分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,求出平面DEF的法向量,平面EAC的法向量
,求出两个法向量夹角的余弦值,从而求得平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值。
(1)连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG,OG,
则,
,
又因为,
,
所以,且
,
所以四边形AOGF是平行四边形,
所以,
又平面DEF,
平面DEF,
所以平面DEF.
(2)因为,
,
,
所以,
所以,
因为,
,
,
所以,
所以,
因为,
所以平面ABCD,
所以CB,CD,CE两两垂直,
以C为坐标原点,CB,CD,CE所在直线分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
由,得
,
设平面DEF的法向量为,
因为,
,
所以由,
,得
,
令,得
,
,
所以,
设平面EAC的法向量,
因为,
,
所以由,
,得
,
令,得
,
设平面DEF与平面EAC所成的锐二面角为,
所以,
所以平面DEF与平面EAC所成的锐二面角的余弦值为.
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【题目】对于在某个区间上有意义的函数
,如果存在一次函数
使得对于任意的
,有
恒成立,则称函数
是函数
的一个弱渐近函数.
(1)若函数是函数
在区间
上的一个弱渐近函数,求实数
的取值范围;
(2)证明:函数是函数
在区间
上的弱渐近函数;
(3)试问:函数与函数
(其中
为自然对数的底数)在区间
上是否存在相同的弱渐近函数?如果存在,请求出对应的弱渐近函数应满足的条件;如不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数,若存在实数
,使得对于定义域内的任意实数
,均有
成立,则称函数
为“可平衡”函数,有序数对
称为函数
的“平衡”数对.
(1)若,判断
是否为“可平衡”函数,并说明理由;
(2)若,
,当
变化时,求证:
与
的“平衡”数对相同;
(3)若,且
、
均为函数
的“平衡”数对.当
时,求
的取值范围.
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【题目】第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行,某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作,每人至少完成一项,每项工作由一人完成,则不同的安排方式共有多少种
A.60B.90C.120D.150
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
(
为参数),将曲线
上所有点横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变,得到曲线
,过点
且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
、
两点.
(1)求曲线的参数方程和
的取值范围;
(2)求中点
的轨迹的参数方程.
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【题目】已知函数的最小正周期为
,将函数
的图像向右平移
个单位长度,再向下平移
个单位长度,得到函数
的图像.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在锐角中,角
的对边分别为
,若
,
,求
面积的最大值.
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【题目】某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录,绘制出日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组区间的频率视为概率,且假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来的连续4天中,有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率;
(2)用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数,求随机变量
的分布列和数学期望.
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