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(本题满分14分)设数列{an}的各项均为正数,它的前n项和为Snn∈N*),已知点(an,4Sn)在函数f (x)=x2+2x+1的图象上.(1)证明{an}是等差数列,并求an;(2)设mkp∈N*,m+p=2k,求证:;(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立,请说明理由。

(Ⅰ)   an=2n-1. (Ⅱ) 见解析  (Ⅲ)见解析


解析:

(1)∵ ,∴   (n≥2).

两式相减得.整理得

,∴ (常数).∴ {an}是以2为公差的等差数列.

,即,解得,∴ an=1+(n-1)×2=2n-1.………4分

(2)由(1)知,∴ Sm=m2Sp=p2Sk=k2

=0,即.…7分

(3)结论成立,证明如下:

设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则

代入上式化简得=≥0,

Sm+Sp≥2Sk.又=

故原不等式得证.……14分

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