【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .
(Ⅰ)若点是棱的中点,求证: 平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若二面角为,设,试确定的值.
【答案】(I)详见解析;(II)详见解析;(III).
【解析】试题分析:(Ⅰ)连接交于,连接,证得,再利用线面平行的判定定理,证得平面;
(Ⅱ)因为为中点,得到,进而得到平面,利用面面垂直的判定定理,即可证明平面平面;
(Ⅲ)以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面的一个法向量和平面中, ,利用向量的夹角公式,即可求得的值.
试题解析:
(Ⅰ)证明:连接交于,连接,
因为且,即且
所以四边形为平行四边形,且为中点,
又因为是中点,
所以,
因为平面, 平面
所以平面.
(Ⅱ)因为为中点,
所以四边形为平行四边形,所以.
因为,所以,即.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面.
(Ⅲ)因为为的中点,所以.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面
以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则点, , , ,平面的一个法向量.
设,则,,
因为
所以
在平面中, ,
因为二面角为,
所以,
所以.
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【题目】若是各项均为正数的数列的前项和,且.
(1)求的值;
(2)设,且数列的前项和满足对任意正整数恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,问:是否存在正整数,使得对一切正整数恒成立?若存在,请求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某物流公司引进了一套无人智能配货系统,购买系统的费用为80万元,维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分,每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为:第一年万元,第二年万元,第三年2万元,…,依等差数列逐年递增.
(1)求该系统使用n年的总费用(包括购买设备的费用);
(2)求该系统使用多少年报废,使年平均费用最少.
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线过点,且与椭圆只有一个公共点,直线与的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点的两点,,与直线交于点(介于,两点之间).
(i)求证:;
(ii)是否存在直线,使得直线、、、的斜率按某种顺序能构成等比数列?若能,求出的方程;若不能,请说明理由.
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【题目】某学校在学校内招募了名男志愿者和名女志愿者.将这名志愿者的身高编成如右茎叶图(单位: ),若身高在以上(包括)定义为“高个子”,身高在以下(不包括)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取人,再从这人中选人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
(Ⅱ)若从所有“高个子”中选名志愿者,用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出的分布列,并求的数学期望.
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【题目】已知圆M的方程为,直线l的方程为,点P在直线l上,过P点作圆M的切线,,切点为A,B.
(1)若,试求点P的坐标;
(2)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标;
(3)设线段的中点为N,求点N的轨迹方程.
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【题目】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点(点均在第一象限),且直线的斜率成等比数列,证明:直线的斜率为定值.
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