Question

如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据统一可知直线l的方程，设N（8，t）（t＞0），因为AM=MN，所以M（2，），由M在椭圆上，得t=6．可求出点M的坐标，求出向量，然后利用向量的夹角公式进行求解即可；
（2）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，即可求出圆的方程，令x=0，得，最后根据线段PQ的中点坐标为（0，9），求出t，从而求出圆的方程．
解答：解：（1）由已知，A（-4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8．
设N（8，t）（t＞0），因为AM=MN，所以M（2，）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（2，3）．（4分）
所以，．．（7分）
（2）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，
得
∵圆方程为，令x=0，得．（11分）
设P（0，y₁），Q（0，y₂），则．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得y₁+y₂=18，．
此时所求圆的方程为x²+y²+2x-18y-8=0．（15分）
点评：本题主要考查了椭圆的性质以及利用向量法求夹角，同时考查了圆的方程，分析问题解决问题的能力，属于中档题．