Question

已知函数f(x)=lg

2+x

2-x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判定函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）判定f（x）的单调性，并求不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）因为对数的真数要大于0，因此解不等式

2+x

2-x

＞0，得到的解集即为函数f（x）的定义域；
（2）用函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质化简，可得f（-x）=-f（x），由此得到函数f（x）是奇函数；
（3）令u=

2+x

2-x

，利用导数研究单调性可得u（x）是（-2，2）上的增函数，所以f（x）在其定义域上是增函数．再结合函数的奇偶性，将不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0等价转化成关于x的不等式组：

-2＜1-x 1-x＜-1+x2 -1+x 2＜2

，解之即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）根据题意，得

2+x

2-x

＞0，即（2+x）（2-x）＞0
整理得：（x+2）（x-2）＜0，解之得-2＜x＜2
∴函数f（x）的定义域是（-2，2）；
（2）函数f（x）是奇函数，证明如下
∵f(x)=lg

2+x

2-x

，
∴f(-x)=lg

2+(-x)

2-(-x)

=lg

2-x

2+x

=lg(

2+x

2-x

)-1=-lg

2+x

2-x

=-f（x）
因此，函数f（x）是奇函数；
（3）令u=

2+x

2-x

=-1+

-4

x-2

∵u'=

4

(x-2)2

＞0在（-2，2）上恒成立
∴u（x）是（-2，2）上的增函数，可得f(x)=lg

2+x

2-x

在定义域（-2，2）上是增函数．
∵不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0可化成f（1-x）＜f（-1+x²），
∴原不等式即：-2＜1-x＜-1+x²＜2，可得不等式组

-2＜1-x 1-x＜-1+x2 -1+x 2＜2

解此不等式组，可得1＜x＜

3

，即原不等式的解集为（1，

3

）．

点评：本题给出含有分式的对数形式的函数，求函数的奇偶性、单调性并用这些性质解关于x的不等式，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题．