Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面FBD；
（Ⅱ）若PA=1，在棱PC上是否存在一点M使得二面角E﹣BD﹣M的大小为60°．若存在，求出PM的长，不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OF， ∵O、F分别是AC、PC的中点，
∴FO∥PA
∵PA不在平面FBD内，
∴PA∥平面FBD
解：（Ⅱ） 解法一：（先猜后证）点M为PC的中点，即为点F，
连接EO，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，则BD⊥EO，BD⊥FO，
∴∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角
连接EF，则EF∥AC，∴EF⊥FO，
∵EF= = ，
在Rt△OFE中，tan∠EOF= = ，
故 ，∴PM=1．
解法二：（向量方法探索）
以O为坐标原点，如图所示，分别以射线OA，OB，OF为x，y，z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，

由题意可知各点坐标如下：
O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0， ，0），D（0， ，0），P（ ，0，1），E（ ，0， ），
设平面EBD的法向量为 =（x，y，z），
∵ =（0，1，0）， =（ ， , ），
由 ，取x=1，得 =（1，0，﹣ ），
设平面BDM的法向量为 =（a，b，c），点M（x0 ， y0 ， z0），
则由 ，得M（ ﹣ ，0，1﹣λ），
∴ =（ ）， =（ ，﹣ ，1﹣λ），
∴ ，取a=1，解得 =（1，0， ），
由已知可得cos60°= = ，解得 或 （舍），
∴点M为棱PC的中点．∴PM=1．
【解析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OF，推导出FO∥PA，由此能证明PA∥平面FBD．（Ⅱ） 法一：（先猜后证）点M为PC的中点，即为点F，连接EO，AC⊥BD，BD⊥EO，BD⊥FO，从而∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角，由此能求出PM=1．法二：（向量方法探索）以O为坐标原点，如图所示，分别以射线OA，OB，OF为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出结果．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．