Question

【题目】以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为 ，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．
（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
（2）若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM||PN|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：消去参数可得x2+y2=1，因为α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，

所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分，

所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．

曲线C2的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1

（2）

解：设P（x0，y0），则0≤y0≤1，直线l的倾斜角为α，

则直线l的参数方程为： （t为参数）．

代入C2的直角坐标方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，

由直线参数方程中t的几何意义可知|PM||PN|=|1+2y0|，

因为0≤y0≤1，所以|PM||PN|=∈[1，3]

【解析】（1）求出C1的普通方程，即可求C1的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为： （t为参数），代入C2的直角坐标方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM||PN|=|1+2y0|，即可求|PM||PN|的取值范围．