Question

15．已知a＞0，b＞0，a+b=1，求y=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值；若a+b=2呢？

Answer 1

分析 根据条件，可考虑用基本不等式求最小值：将$y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$变成，y=$\frac{a+b}{a}+\frac{4（a+b）}{b}$=$1+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}+4$，这样根据基本不等式即可得出y=$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值；当a+b=2，方法同前面的相同，只是将$y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$变成，y═$\frac{2}{2a}+\frac{2}{\frac{b}{2}}$，然后把分子的2都换上a+b，然后根据基本不等式即可得出此时的最小值．

解答 解：a＞0，b＞0，a+b=1；
∴$y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{4（a+b）}{b}$=$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}+5≥4+5=9$，当$\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$，即b=2a时取“=”；
∴y=$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为9；
若a+b=2，则$y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{2}{2a}+\frac{2}{\frac{b}{2}}=\frac{a+b}{2a}+\frac{a+b}{\frac{b}{2}}$=$\frac{1}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}+2≥\frac{1}{2}+2+2=\frac{9}{2}$，当$\frac{b}{2a}=\frac{2a}{b}$，即b=2a时取“=”；
∴$y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

点评 考查根据基本不等式求最小值的方法，注意应用基本不等式所具备的条件，如果应用a+b$≥2\sqrt{ab}$求最小值时，需让ab为定值，不是定值时，要构造出定值．