Question

已知函数f（x）在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x都有f（ax）=a﹒f（x）．
（1）证明：f（0）=0
（2）若f（1）=1，求g(x)=

1

f(x)

+f(x)．(x＞0)的极值．

Answer 1

分析：（1）令x=0代入即可得到答案．
（2）先表示出函数g（x），然后对其进行求导，导数大于0时单调递增，导数小于0时单调递减，导数等于0时函数取到极值点．

解答：解：（1）证明：令x=0，则f（0）=af（0），
∵a＞0，∴f（0）=0．
（2）由于f（1）=1
则f（x）=f（x•1）=x•f（1）=x
故g(x)=

1

f(x)

+f(x)=

1

x

+x．(x＞0)
可得g′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

  (x＞0)
令g ′(x)＞0，则x＞1或x＜-1；令g ′(x)＜0，则-1＜x＜1．
故函数g（x）在x=-1处取得极大值，且极大值为-2，函数g（x）在x=1处取得极小值，且极小值为2．

点评：本题主要考查函数的导数有关问题，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时函数单调递减，当导数等于0时函数取极值点．