Question

1．求下列方程在[-2π，2π]上的解集：
（1）sin²x-2sinx-3=0
（2）3sin$\frac{x}{2}$+cosx+1=0．

Answer 1

分析 （1）根据整体思想和一元二次方程的解法求出sinx，由正弦函数的值域、特殊角的正弦值和x的范围求出方程的解集；
（2）由二倍角的余弦公式变形化简方程，根据整体思想和一元二次方程的解法求出sin$\frac{x}{2}$，由正弦函数的值域、特殊角的正弦值和x的范围求出方程的解集．

解答 解：（1）由sin²x-2sinx-3=0得，
（sinx-3）（sinx+1）=0，则sinx=-1或sinx=3（舍去），
∵x∈[-2π，2π]，∴x=$\frac{3π}{2}$或$-\frac{π}{2}$，
则方程的解集是{$-\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$}；
（2）由3sin$\frac{x}{2}$+cosx+1=0得，3sin$\frac{x}{2}$+1-2$si{n}^{2}\frac{x}{2}$+1=0，
即2$si{n}^{2}\frac{x}{2}$-3sin$\frac{x}{2}$-2=0，（2sin$\frac{x}{2}$+1）（sin$\frac{x}{2}$-2）=0，
解得sin$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{2}$或sin$\frac{x}{2}$=2（舍去），
∵x∈[-2π，2π]，∴$\frac{x}{2}$∈[-π，π]，
∴$\frac{x}{2}$=$-\frac{5π}{6}$或$\frac{x}{2}$=$-\frac{π}{6}$，则x=$-\frac{5π}{3}$或$-\frac{π}{3}$，
则方程的解集是{$-\frac{5π}{3}$，$-\frac{π}{3}$}．

点评 本题考查二倍角的余弦公式变形在化简中的应用，正弦函数的值域，一元二次方程的解法，考查整体思想．