Question

设函数f(x)=

3x

3x+ 3

上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，且P点的横坐标为

1

2

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若Sn=

n

i=1

f(

i

n

)，n∈N^*，求S_n；
（3）记T_n为数列{

1

(Sn+ 3 2 )(Sn+1+ 3 2 )

}的前n项和，若Tn＜a•(Sn+2+

3

2

)对一切n∈N^*都成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可设

OP

=(

1

2

，yp)，由

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，可得x1+x2=1，yp=

y1+y2

2

，代入解析式验证即可．
（2）由（1）知y1+y2=f(x1)+f(x2)=1，f(1)=

3- 3

2

，而由Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(

n

n

)，可变形为Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(

n

n

)两式相加可得到解决．
（3）由（2）知Sn=

n+2- 3

2

所以可得到Sn+

3

2

=

n+2

2

，Sn+1+

3

2

=

n+3

2

1

(Sn+ 3 2 )(Sn+1+ 3 2 )

可变形为

4

(n+2)(n+3)

裂项求得T_n，再研究恒成立问题．

解答：解：（1）设

OP

=(

1

2

，yp)，
又∵

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，
∴x1+x2=1，yp=

y1+y2

2

，
又y1+y2=

3x1

3x1+ 3

+

3x2

3x2+ 3

=1，
∴yp=

y1+y2

2

=

1

2

（2）由x₁+x₂=1，得y1+y2=f(x1)+f(x2)=1，f(1)=

3- 3

2

∴Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(

n

n

)，
又Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(

n

n

)
∴2Sn=

1+1++1+1+1

n-1个

+2f(1)=n+2-

3

，即Sn=

n+2- 3

2

（3）∵Sn+

3

2

=

n+2

2

，∴Sn+1+

3

2

=

n+3

2

，∴

1

(Sn+ 3 2 )(Sn+1+ 3 2 )

=

4

(n+2)(n+3)

，
从而Tn=4[

1

3×4

+

1

4×5

++

1

(n+2)(n+3)

]=

4

3

•

n

n+3

，
由Tn＜a(Sn+2+

3

2

)，Sn+2+

3

2

＞0，∴a＞

Tn

Sn+2+ 3 2

=

8

3

•

n

(n+3)(n+4)

=

8

3

•

1

n+ 12 n +7

令g(n)=n+

12

n

，易证g（n）在[2

3

，+∞)上是增函数，在(0，2

3

)上是减函数，我
且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值为7，即

8

3

•

1

n+ 12 n +7

≤

4

21

，
∴a＞

4

21

点评：本题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．