分析 任意x∈R,不等式f(x)≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立?$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥f(x)max(x∈R),由二次函数与对数函数的单调性可求得f(x)max=f($\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{4}$,解不等式$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥$\frac{1}{4}$,即可求得实数t的取值范围.
解答 解:∵f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x,x≤1}\\{lo{g}_{0.5}x,x>1}\end{array}\right.$,
∴对于任意x∈R,不等式f(x)≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立?$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥f(x)max(x∈R),
又当x=$\frac{1}{2}$时,f(x)取到最大值,即f(x)max=f($\frac{1}{2}$)=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$,
∴$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥$\frac{1}{4}$,整理得:t2-4t+3≥0,
解得:t≥3或t≤1.
故答案为:(-∞,1]∪[3,+∞).
点评 本题考查函数恒成立问题,求得f(x)max=f($\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{4}$是关键,考查等价转化思想与运算求解能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [1,3] | B. | [$\frac{1}{2}$,$\frac{11}{4}$] | C. | [$\frac{3}{4}$,3] | D. | [$\frac{3}{4}$,$\frac{11}{4}$] |
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