Question

如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果将容器倒置，水面也恰好过点P（如图2），有下列三个命题：
（1）正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
（2）将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；
（3）若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
请判断上面命题是否正确，并说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：设图（1）水的高度h₂几何体的高为h₁，图（2）中水的体积为b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），从而得到h₁=

5

3

h₂，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点．

解答： 解：设图（1）水的高度h₂几何体的高为h₁
图（2）中水的体积为b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故（1）错误，（3）正确．
对于（2），当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故（2）正确．
故答案为：（2），（3）．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．