Question

12．数列{a_n}满足a₁=2，a_n=4a_n-1+6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=4a_n-1+6（n≥2），变形可得a_n+2=4（a_n-1+2）（n≥2），利用a₁=2可得数列{a_n+2}是首项和公比均为4的等比数列，进而可得结论；
（2）通过a_n=4ⁿ-2，分离分母可得$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$），并项相加即可．

解答 解：（1）∵a_n=4a_n-1+6（n≥2），
∴a_n+2=4（a_n-1+2）（n≥2），
又∵a₁=2，
∴a₁+2=4，
即数列{a_n+2}是首项和公比均为4的等比数列，
∴a_n+2=4•4^n-1=4ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4ⁿ-2；
（2）∵a_n=4ⁿ-2，
∴$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n}}{（{4}^{n}-2）（{4}^{n+1}-2）}$=$\frac{{4}^{n}}{3•{4}^{n}}$（$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$），
∴S_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4-2}$-$\frac{1}{{4}^{2}-2}$+$\frac{1}{{4}^{2}-2}$-$\frac{1}{{4}^{3}-2}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$）
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$．

点评 本题考查数列的通项及求和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．