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12.数列{an}满足a1=2,an=4an-1+6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}前n项和为Sn

分析 (1)通过an=4an-1+6(n≥2),变形可得an+2=4(an-1+2)(n≥2),利用a1=2可得数列{an+2}是首项和公比均为4的等比数列,进而可得结论;
(2)通过an=4n-2,分离分母可得$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$),并项相加即可.

解答 解:(1)∵an=4an-1+6(n≥2),
∴an+2=4(an-1+2)(n≥2),
又∵a1=2,
∴a1+2=4,
即数列{an+2}是首项和公比均为4的等比数列,
∴an+2=4•4n-1=4n
∴数列{an}的通项公式an=4n-2;
(2)∵an=4n-2,
∴$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n}}{({4}^{n}-2)({4}^{n+1}-2)}$=$\frac{{4}^{n}}{3•{4}^{n}}$($\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$)=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$),
∴Sn=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{4-2}$-$\frac{1}{{4}^{2}-2}$+$\frac{1}{{4}^{2}-2}$-$\frac{1}{{4}^{3}-2}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$)
=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{4-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$)
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$.

点评 本题考查数列的通项及求和,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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