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    12．若椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点（2，1），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F1，F2分别为其左、右焦点．
    （1）若点P与F1，F2的距离之比为$\frac{1}{3}$，求直线$x-\sqrt{2}y+\sqrt{3}=0$被点P所在的曲线C2截得的弦长；
    （2）设A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点，Q为C1上异于A1，A2的任意一点，直线A1Q交C1的右准线于点M，直线A2Q交C1的右准线于点N，试问$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$是否为定值，若是，求出其定值，若不是，说明理由．

    分析 （1）根据椭圆的性质求出a，b，c的值，从而求出曲线C2的方程，进而求出弦长即可；
    （2）分别求出直线A1Q和直线A2Q的方程，求出点M，N的坐标，从而求出$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$，判断即可．

    解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）过点（2，1），
    ∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1①，又其离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    ∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴b2=$\frac{1}{2}$a2②，
    把②代入①得：a2=6③，
    把③代入②得：b2=3，
    ∴椭圆C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其焦点在x轴上，
    又c=$\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}$=$\sqrt{6-3}$=$\sqrt{3}$，
    ∴其左右焦点的坐标分别为F1（-$\sqrt{3}$，0），F2（$\sqrt{3}$，0），
    设点P的坐标为P（x，y），
    由已知条件得：$\frac{\sqrt{{（x+\sqrt{3}）}^{2}{+y}^{2}}}{\sqrt{{（x-\sqrt{3}）}^{2}{+y}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，化简得：2x2+2y2+5$\sqrt{3}$x+6=0，
    ∴点P所在的曲线C2的方程为：2x2+2y2+5$\sqrt{3}$x+6=0，即${（x+\frac{5\sqrt{3}}{4}）}^{2}$+y2=${（\frac{3\sqrt{3}}{4}）}^{2}$，
    曲线C2为圆，圆心坐标为O′（-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，0），半径r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
    设圆心O′到直线x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{3}$=0的距离为d=$\frac{|-\frac{5\sqrt{3}}{4}-0+\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$，
    ∴直线x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{3}$=0被曲线C2所截弦长为2×$\sqrt{{（\frac{3\sqrt{3}}{4}）}^{2}{-（\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，；
    （2）证明：设Q（x0，y0），（y0≠0），
    由（1）的结论可知A1（-$\sqrt{6}$，0），A2（$\sqrt{6}$，0），F2（$\sqrt{3}$，0），
    椭圆C2的右准线方程为x=2$\sqrt{3}$，
    ∴直线A1Q的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$（x+$\sqrt{6}$），
    令x=2$\sqrt{3}$，则y=$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$
    ∴点M的坐标为M（2$\sqrt{3}$，$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$），
    同理可得点N的坐标是N（2$\sqrt{3}$，$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}-\sqrt{6}）}{{x}_{0}-\sqrt{6}}$），
    ∵点Q（x0，y0）（y0≠0）在椭圆C1上，
    ∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即${{x}_{0}}^{2}$+2${{y}_{0}}^{2}$=6，${{x}_{0}}^{2}$-6=-2${{y}_{0}}^{2}$，
    ∴$\overrightarrow{M{F_2}}=（{\sqrt{3}，\frac{{{y_0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}}{{{x_0}+\sqrt{6}}}}）$，$\overrightarrow{N{F_2}}=（{\sqrt{3}，\frac{{{y_0}（2\sqrt{3}-\sqrt{6}）}}{{{x_0}-\sqrt{6}}}}）$，
    ∴$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}=3+\frac{6y_0^2}{x_0^2-6}=0$，
    ∴$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$为定值．

    点评 本题考查了椭圆问题，考查直线和圆锥曲线的综合问题，考查计算能力，是一道综合题．

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