【题目】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量单位:克,重量分组区间为,,,,由此得到样本的重量频率分布直方图如图.
(1)求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量内的小球个数为,求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
【答案】(1),众数约为20,平均值为24.6(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由频率分布直方图中所有小矩形面积(频率)之和为1,可计算出,众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标,平均值用各矩形中点值乘频率相加即得;(Ⅱ)的可能取值为、、、,利用样本估计总体,该盒子中小球重量在内的概率为,因此有,从而可得分布列,最后由期望公式可计算出期望.
试题解析:(Ⅰ)由题意,得,
解得;
又由最高矩形中点的的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20(克)
而个样本小球重量的平均值为: (克)
故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为克;
(Ⅱ)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在内的概率为
则. 的可能取值为、、、,
, ,
, .
的分布列为:
.(或者)
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是正三角形,底面ABCD为菱形,A点E为AD的中点,若BE=PE.
(1)求证:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【题目】已知椭圆 +y2=1,A,B,C,D为椭圆上四个动点,且AC,BD相交于原点O,设A(x1 , y1),B(x2 , y2)满足 = .
(1)求证: + = ;
(2)kAB+kBC的值是否为定值,若是,请求出此定值,并求出四边形ABCD面积的最大值,否则,请说明理由.
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【题目】我们为了探究函数的部分性质,先列表如下:
… | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … | |
… | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.004 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
观察表中值随值变化的特点,完成以下的问题.
首先比较容易看得出来:此函数在区间上是递减的;
(1)函数在区间 上递增
当 时,= .
(2)请你根据上面性质作出此函数的大概图像;
(3)试用函数单调性的定义证明:函数在区间上为减函数.
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【题目】(12分)已知函数f(x)=
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
与的情况如上:
所以,的单调递减区间是,单调递增区间是.
(Ⅱ)当,即时,函数在上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
当,即时,
由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
当,即时,函数在上单调递减,
所以在区间上的最小值为.
综上,当时,的最小值为;
当时,的最小值为;
当时,的最小值为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点为抛物线上一点.
(1)求的方程;
(2)若点在上,过作的两弦与,若,求证: 直线过定点.
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【题目】已知函数是定义在上的偶函数,且当时, .现已画出函数在轴左侧的图象,如图所示,并根据图象:
(1)直接写出函数, 的增区间;
(2)写出函数, 的解析式;
(3)若函数, ,求函数的最小值.
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【题目】如图,在多面体中,底面为正方形,四边形是矩形,平面平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若过直线的一个平面与线段和分别相交于点和 (点与点均不重合),求证: ;
(3)判断线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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