Question

已知在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D的极坐标是(1，

3

2

π)，曲线C的极坐标方程为ρ=

2

1-cosθ

．
（I）求点D的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；
（II）若经过点D的直线l与曲线C交于A、B两点，求|DA|•|DB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．
（2）先写出直线l的参数方程，将|DA|•|DB|利用参数的几何意义，结合一元二次方程根与系数的关系求解即可．

解答：解：（I）点D的直角坐标是（0，-1），（2分）
∵ρ=

2

1-cosθ

，∴ρ=ρcosθ+2，即x²+y²=（x+2）²，（4分）
化简得曲线C的直角坐标方程是y²=4x+4（5分）
（II）设直线l的倾斜角是α，则l的参数方程变形为

x=tcosα y=-1+tsinα

，（7分）
代入y²=4x+4，得t²sin²α-（4cosα+2sinα）t-3=0
设其两根为t₁，t₂，则t1t2=-

3

sin2α

，（8分）
∴|DA|•|DB|=|t1t2|=

3

sin2α

．
当α=90°时，|DA|•|DB|取得最小值3．（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化和直线的参数方程的应用，属于基础题．