Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_2n}（n∈N^*}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2 a2k-1（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立．

Answer 1

分析：（1）设n=2k（k∈N^*），根据a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，结合三角函数的定义，易得a_2n+2=a_2（n+1）=3•a_2n，进而根据等比数列的定义，可得结论；
（2）设n=2k-1（k∈N^**），根据a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，结合三角函数的定义，易得a_2n+1=a_2n-1+1，故数列{a_n}所有的奇数项构成一个等差数列，综合（1）中结论，可得答案．
（3）若b_k+1＞b_k，则b_k+1-b_k＞0，由已知求出b_k+1-b_k的表达式，结合（1）（2）中的结论，分类讨论，可得答案．

解答：解：（1）设n=2k（k∈N^*）
∵a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，又a₂=3，
∴当n∈N^*时，数列{a_2n}为首项为3，公比为3的等比数列；…4'
（2）设n=2k-1（k∈N^*）
由a_2k+1=（1+2|cos（k-

1

2

）π|）a_2k-1+|sin（k-

1

2

）π|=a_2k-1+1
∴当k∈N^*时，{a_2k-1}是等差数列
∴a_2k-1=a₁+（k-1）•1=k…6'
又由（1）当k∈N^*时，数列{a_2k}为首项为3，公比为3的等比数列
∴a_2k=a₂•3^k-1=3^k…6'
综上，数列{a_n}的通项公式为an=

n+1 2 (n为奇数) 3 n 2 (n为偶数)

…8'
（3）b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2 a2k-1=3^k+（-1）^k-1λ•2^k，
∴b_k+1-b_k=3^k+1+（-1）^kλ•2^k+1-3^k-（-1）^k-1λ•2^k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k
由题意，对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立
∴b_k+1-b_k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k＞0恒成立
即2•3^k＞（-1）^k-1λ•3•2^k对任意k∈N^*恒成立…11'
①当k为奇数时，
2•3^k＞λ•3•2^k⇒λ＜

2•3k

3•2k

=

2

3

•(

3

2

)k对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为奇数，
∴

2

3

•(

3

2

)k≥

2

3

•

3

2

=1
∴λ＜1…13'
②当k为偶数时，
2•3^k＞-λ•3•2^k⇒λ＞-

2•3k

3•2k

=-

2

3

•(

3

2

)k对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为偶数，
∴-

2

3

•(

3

2

)k≤-

2

3

•(

3

2

)2=-

3

2

，
∴λ＞-

3

2

…15'
综上：有-

3

2

＜λ＜1…12'
∵λ为非零整数，∴λ=-1．…16'

点评：本题考查的知识点是数列与不等式的综合，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，等比关系的确定，等差关系的确定，是数列问题与不等式问题的综合应用，难度较大．